物理」カテゴリーアーカイブ

右回り?左回り?

高校物理参考書『高校物理発想法』を出版しました。

詳しくはこちら

こんにちは、高校物理家庭教師です。
今回は、物理法則などではないのですが、知らないと、本番で出たとき「えっ?」となってしまうことです。

それは「右回り」「左回り」がどっちまわりなのか、ということです。くだらないことのようですが、本番で迷わないように確認しておきます。

その方向にひとが進んでいるとして、進行方向右に曲がっていくのが「右回り」、左に曲がっていくのが「左回り」です。図にすると次のようになります。
右回り、左回り
つまり、「右回り」は「時計回り」、「左回り」は「反時計回り」です。

わたくし的には、つまらないことで混乱を招かないように、最初から出題者が「時計回り」「反時計回り」にしておいてほしいのですが、実際出題されるものは仕方がありません。しっかり覚えておきましょう。
また問題を解いているとき、頭の中で「右回り・左回り」と考えていると、どっちに回っているのかわからなくなることがあります。「時計回り、反時計回り」という言葉で考えるほうがよいでしょう。

もう受験直前ですね。いまさらジタバタせず、引っかかりやすい事項の確認などをするようにしましょう。

『高校化学 中和滴定』『高校化学 気体の製法の理論を整理すると』『高校化学 熱化学方程式の問題の解き方』を出版しました。kindle出版です。

未知の酸または塩基の濃度を決定する操作を「中和滴定」といいます。中和滴定について高校化学で必要な知識をまとめます。教科書ではあまり取り上げられていないちょっとしたコツも紹介したいと思います。詳しくはこちらを。

高校化学でさまざまな気体の製法を学びますが、その理論をあまり整理せずに、雑然と覚えている人が多いような気がします。本書ではそれらをキチンと整理します。

高校化学の熱化学方程式の問題は、場当たり的に解くのではなく、整理して系統的に解くべきです。それをまとめました。

わたくし、大阪の家庭教師が高校物理の参考書を出版しました。

タイトルは『高校物理発想法~あやふやな理解を明確に~』です。

『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

他の参考書では書いていないような受験生が本当に必要としている事項満載です。

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万有引力によって運動する物体の軌道

高校物理参考書『高校物理発想法』を出版しました。

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こんちは高校物理家庭教師です。

今回は、今話題のアイソン彗星が入学試験に出題されるとしたらどんな形か考えてみます。

高校の物理の授業でケプラーの法則を習ったと思います。覚えてますか?その第一法則は、太陽系列の惑星は太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を運動する、というものでした。アイソン彗星は惑星ではありませんが太陽からの万有引力で運動しています。そこでテレビや新聞などの報道を思い出してほしいのですが、アイソン彗星は一度太陽に接近したら、その後二度と戻ってこない、無限遠まで遠ざかってしまう、とありました。ま、実際は蒸発してしまって、戻ってこないどころか消えてしまったのですが、ポイントは、アイソン彗星の軌道は楕円軌道ではない、というところです。つまりケプラーの法則は対象を惑星以外に広げると高校で教えられている内容にちょっと修正が必要ということです。

ここで話は少し脱線します。ヨハネス・ケプラーは師匠ティコ・ブラーエが遺した膨大かつ正確な天体観測データを分析して太陽系の惑星の運行法則を導き出しました。ニュートン以前ですから微分積分などの数学的手法も知られていない時代に、観測データだけからケプラーの法則をわりだしたわけですからすごいですね。ニュートンに匹敵するくらいの天才ではないでしょうか。ところでケプラーとブラーエはなぜ天体観測をしていたのかといえば、はっきりいって星占いです。近代西洋の自然科学は占星術と錬金術から生まれました。運命を知りたかったのとおカネが欲しかったんですね。それでブラーエは本当に大量のデータを遺したわけですが、ケプラーが業績をぱくったのではないかという説があります。ブラーエは水銀中毒死した疑いもあり、ケプラーが毒殺したのでは、なんていう人もいるみたいです。今となっては真相はわかりませんが、大きな業績を遺すとねたむ人がいるということでしょうか・・・。ブラーエの生きた時代彗星がやってきていて、彼自身観測していました。ケプラーは1609年に惑星の運行法則を導きましたが、彗星にも適用するべきとは考えていなかったようです。いろいろ議論があった末、1687年にアイザック・ニュートンが万有引力の法則を発表し、万有引力の影響下で運動する物体は、軌道の形が円錐曲線の一種になるということを証明して、彗星の運動軌道について決着をみました。

閑話休題。
太陽系列の星の力学的エネルギーEは

E=1/2mv2-GmM/r

として表され

E<0で楕円軌道
E=0で放物線軌道
E>0で双曲線軌道

となります。

簡単な図にすると

万有引力運動の軌道

なぜ、このようになるか簡単に説明します。彗星が無限遠に到達するとして、その時の位置エネルギーは0です(r→∞)。その時の速さをVとすると、エネルギー保存の式は

E=1/2mV2

です。もしE<0だと、Vは解を持ちません。これは無限遠で速さを持つことが出来ない、つまり楕円軌道を描いて戻ってくることを表しています。E≧0だと無限遠に行くことが出切ることになります。

で、入試で出題されるとすれば、学校ではケプラーの法則を惑星に適用した場合しか習っていないわけですから、さきのエネルギーごとの軌道条件の式は与えられます。それと太陽からの距離rにおける速さvを与えておいて、アイソン彗星は二度と戻ってきませんがその条件でアイソン彗星の質量の範囲を求めよ、というのはありそうです。答えはmについて不等式E≧0を解くだけですが。

大学の出題者がホットな話題を好む人だったりしたら、出題するかもしれません。志望校が過去どんな感じの問題を出しているのかかるくあたってみるのもよいでしょう。

今回はそんなところです。

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『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

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受験時の文房具について

高校物理参考書『高校物理発想法』を出版しました。

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今回はちょっと番外編的に、文房具について。 文房具にこだわりを持っている人は多いと思いますが、受験時の文房具について私がどう考えているか、体験も交えながら語りたいと思います。あくまでも私の考えですので、実際にどの文房具を使うかは人それぞれでよいです。これが正解だとか強制しようとかいう気持ちはまったくありませんので、あしからず。
まず消しゴムから。 センター試験の受験案内に消しゴムはプラスチック製と限定しています。現在販売されている消しゴムはほとんどプラスチック製ですし、多少の機能の差はありますが、どれを選んでも使用に耐えるでしょう。あとはブランドの好き嫌い、紙ケースのデザインだと思います。こういう嗜好の問題は勉強に取り組む姿勢にも影響しますので笑うことなかれ。私はブルー系のケース、白の本体です。オーソドックスにMONOかな、やっぱり。
数学もそうですが物理では累乗などの添え字がよく使われます。要するに小さい文字です。その文字だけを消したいときがあると思います。そういうときにノック式の消しゴムが有効です。

わたしはこのモノゼロ角型を愛用しています。モノゼロには角型と丸型があるのですが、丸型は細く、一見細かい字を消すのにうってつけのようですが、私には細すぎるのか、力を入れたり、本体を出しすぎたりすると、折れ曲がってしまいます。これ以外にもノック式の消しゴムはありますので、気に入ったものを探すとよいでしょう。 私は広い面積を消すようにふつうの消しゴムと細かい字を消す用のノック式を使い分けています。 現役のときは消しゴムを2個用意するぐらいでノック式は持っていませんでした。いまはいろんな文房具を選べるし、ネットで入手できるしいい時代ですね。
で、メインの筆記具。 センター試験の受験案内に次のようにあります。 「受験票、写真票のほかに試験時間中、机の上に置けるものは、黒鉛筆(H、F、HBに限る。和歌・格言等が印刷されているものは不可。)、シャープペンシル(メモや計算する場合に限る。)、プラスチック消しゴム、鉛筆削り(電動式・大型のもの・ナイフ類を除く。)、・・・・・以下略」 「解答には、必ず黒鉛筆(H、F、HBに限る)およびプラスチック製の消しゴムを使用してください。黒鉛筆以外のもの(シャープペンシル等)を使用してマークした場合には、解答が読み取れないことがありますので、使用しないでください。」 というわけで計算用の筆記具と解答用の鉛筆を用意する必要があります。計算用と解答用におなじ鉛筆を用いることもできますが、やっぱりマークシートでちびるのが早いので使い分けたほうがよいでしょう。 マークシートには受験案内の指定どおり、H、F、HBの鉛筆。マークシート用鉛筆なんてものも売られています。

計算用ですが、これはシャープペン派、鉛筆派に分かれると思います。鉛筆がちびるのが嫌な人はシャープペンですね。シャープペンもちびるので、使う人は無意識のうちにペンを回しながら使っているケースが多いようです。そこに目をつけたのが三菱のクルトガ。クルトガエンジンによって自動的に芯が回り、とがりつづけます。将来パテント切れになればシャープペンはすべてクルトガエンジン搭載になるのでは。愛用している人も多いでしょう。

無意識のうちでもペンを回転させていると集中力が殺がれてしまうと思いますので、受験用シャープペンはこれできまりという気がします。しかし、普段からクルトガじゃないシャープペンシルを使っている人はペンを回転させるのがリズムになっている人もいるでしょう。ようするに普段とおなじリズムでできるように、できるだけ受験本番で使う予定の文房具で勉強するようにすればよいです。 シャープペンシルの芯がすぐ折れてしまうのが嫌な人は鉛筆ですね。ちなみに私が現役のときはマークシート用も計算用も三菱ハイユニを使用しました。複数用意して持ち替えながらやるつもりだったのですが、回答に夢中になってずっとおなじ鉛筆を使ったりでした。 鉛筆最高峰は三菱ハイユニ、トンボMONO100ですね。わたしがハイユニを使ったのは鉛筆が好きとか使い心地とかよりも、自分は最高の条件で臨んでいるのだと安心したかったからです。

 文房具についてはこんな感じです。 要は普段勉強しているのに近い状態で受験本番に臨めるのが一番です。 あと受験案内はよく読みましょう。キッチンタイマー禁止など変更があったりしますから。一番注意したいのは定規使用禁止ということです。普段からフリーハンドで作図する習慣にしましょう。

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「ばねの伸びx」とおいて解いている最中に「もしちぢんでいたら・・・?」と考えてしまう。

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わたしが教えている生徒にバネの問題を解かせてみると、「のびx」とおいて解いている最中に「もしちぢんでいたらどうしよう」とよく言い出すので、それについて考えてみます。

「バネがのびている」と仮定したものはのびていると考えなくてはなりません。「もしちぢんでいたら」などと考えてはダメです。実際はちぢんでいたとしても、答えは同じで中身の正負が逆になるだけです。

「のびx」とおいても「ちぢみx」とおいても答えが同じで中身の正負が逆になるだけなのは、
「xのびている⇔-xちぢんでいる」のようにのびとちぢみの間に対称性があるからです。

もし、のびとちぢみの間に対称性がなく、のび・ちぢみ両方の可能性があるのなら(これが「もしちぢんでいたらどうしよう」に該当する)、「のびx」「ちぢみx」に場合わけして解かなければなりません。

数学の証明問題で、「x>a」「x<a」に場合わけして回答しているとしましょう。そこで「x>aとすると」と仮定した場所で、「x<aだったらどうしよう」などと考えませんね。なぜならx>aとおいたものはおいたのですから。x<aは別の場所で区別して考えるのですから。これと同じことがバネののび・ちぢみにも言えます。

バネの問題で「のびx」「ちぢみx」に場合わけして回答しても間違いではありませんが、無駄なことをやっていることになるわけです。

◎今回の教訓

バネの問題で「のびx」とおいたものは「のびx」として解け!「もしちぢんでいたら」などと考えない。

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相対性理論・量子論が正しいのだから、古典力学はまちがっている?

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わたしが現役のころはちょうど宇宙論華やかなりしころでした。『ニュートン』の特集なんかを見て、高校から始まる物理への期待に胸躍らせている中学生が多くいました。で、授業でX=1/2at2+v0tなんて眠たいことをやられて一気に高校物理への興味をなくすわけです。古典力学なんかからじゃなく相対性理論から教えてくれと。
旧課程では高校物理の学習指導要領が電磁気学からはじまっていて、現場の先生方の不評を買っていたのですが、新課程から従来の古典力学からはじまるように改訂されました。

今回はなぜ高校物理が古典力学から始められるのか考えてみましょう。

古典力学は「古典」という言葉からもわかるように古い力学です。現代では相対性理論と量子論に取って代わられました。それでは相対性理論・量子論によって古典力学がウソだということになったのか、というとそうではありません。かつて古典力学は普遍的に正しいと思われていました。物理という学問はもはや完成した、これ以上の発展はないとさえ考えられました。ところが、速さが光速にくらべて無視できない場合や、原子の大きさより小さい微視的な世界では、古典力学が適用できないことがだんだんわかってきたのです。ではやっぱりウソだったんじゃないかと思われるかもしれませんが、先ほどいったような範囲を除いては、近似としてかなり正確に古典力学は成り立ちます。実際、現代でも最先端の技術以外で役に立つ力学はほぼ古典力学です。
つまり、古典力学はそれまで普遍的と思われていた世界より、光速や原子以下のレベルを含めたもっと大きな普遍では成り立たないが、そのもっと大きな普遍の中の一部・特殊として位置づけられるようになったということです。新しい理論が発見されて古典力学はウソになったというわけではありません。科学理論というものは普遍を特殊に落としながら発展していくのです。古い理論は特殊に落とされることで適用範囲がはっきりします。
当然、将来、今普遍的と思われているよりもっと大きな普遍が見つかって、相対性理論や量子論がより普遍的な理論に取って代わられることも十分考えられます。その場合でも、相対性理論や量子論は依然として正しく、古典力学も依然として正しいのです。新しい理論の一部・特殊として生き続けるのです。
古典力学は現代でも幅広く活かされています。また新しい理論というものは古い理論から発展していくものですから、そういう意味でも古典力学を学ばずして相対性理論・量子論を理解することはできません。やはり高校の物理で古典力学を学ぶことは意義あることなのです。といっても古典力学で高校物理に失望する新入生がいるのは避けられないのでしょうね・・・。

 

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浮力の正しい定義

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浮力について教科書には次のように書かれています。
流体中の物体は、それが排除している流体の重さに等しい浮力を受ける
F=ρVg
じつはこれは正確な定義ではありません。
浮力とはなんでしょうか。浮力とは流体中にある物体がまわりの流体から受ける力のことです。
それで、浮力を導くとき次のように考えます。物体がある位置にどんなものがあっても形と大きささえ同じであればまわりの流体から同じ力を受けるはずだと。そこで流体中の同じ位置に物体ではなくまわりの流体と同じ流体があると仮定します。この状態は要するに容器に流体だけが入っている状態と同じです。ここから物体の位置にあると仮定する流体にはたらく力について考えていきます。 流体が入っている容器が静止か等速度運動しているときは、分子運動はべつにして流体も静止か等速度運動しています。静止・等速度運動している物体にはたらく力はつりあっています。流体にはたらいている力は重力ρVgとまわりの流体から受ける力すなわち浮力Fだけですから、F=ρVgです。 ここまでは教科書の定義であってます。 では容器が水平方向に加速度aで運動していたらどうでしょう。 運動方程式から流体にはたらく力の合力は水平方向にρVaでなくてはなりません。しかるに流体にはたらく力は重力とまわりの流体から受ける力だけですのでベクトルの関係は下図のようでなくてはなりません。

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つまり浮力Fは上向きρVgではなく、図の向きに

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となります。
浮力とは流体中にある物体がまわりの流体から受ける力のことで、物体の位置にまわりの流体と同じ流体があると仮定して、力のつりあい・運動方程式から求める。
ということですが、この考え方はややめんどくさい。そこで見かけの重力を考えます。

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図のようになり、これは加速度aで運動する容器から見た相対運動の立場ですから容器・流体は静止しています。流体にはたらく力は見かけの重力ρVg ‘と浮力だけですから、力のつりあいを用いて、浮力は見かけの重力とは逆向き、大きさρVg ‘となります。
『入試物理プラス』東京出版の12~13pに電気通信大学の問題を載せてこのテーマを扱っています。

見かけの重力について説明があまりできませんでしたが、いつか項をあらためて相対運動をテーマにしたときに詳しく説明したいと思います。
以上、ただしい浮力の定義でした。
今回の教訓

○浮力F=ρVgとは限らない。流体を容れた容器が加速度運動している場合など。

○見かけの重力g’を使えばF=ρVg’
このテーマおわり

 

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2物体両方が変位する場合に垂直抗力、張力は仕事をしないか?③

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つぎは車の中の振り子のばあい。

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車から見たおもりの相対運動は円運動ですから、張力Tと各瞬間の相対変位の方向は垂直です。ということは静止系からするとおもりの変位の方向と張力は垂直ではありません。よって張力は仕事をします。
ところが垂直抗力のばあいと同様に張力がおもりにする仕事と張力が車にする仕事は相殺します。 両者の和をW、おもりの変位をベクトルx、車の変位をベクトルXとします。おもりにはたらく張力をベクトルTとすると、車にはたらく張力は-ベクトルTです。よって

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(ベクトルx-ベクトルX)は車から見たおもりの相対変位ですから軌跡は円運動で、相対変位と張力は垂直

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となります。 よって車と地面に摩擦がなければ、仕事をするのはおもりにはたらく重力だけ。車とおもりの質量、速さをそれぞれM,V,m,v、おもりが静止していた位置から鉛直下方にh運動したとすると

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が成り立ちます。
なぜ私がこんなことを考えたかというと、垂直抗力・張力が仕事をしないことがはっきりしていないと、エネルギー保存の式を立てても、これで本当にいいのかと気になって回答に集中できないからです。
受験生の人たちのうちどのくらいの人が「本当に垂直抗力は仕事をしないのか?」と疑問を持っていたかわかりませんが、きちんと力学的エネルギー保存の法則を理解していたならば、当然そういう疑問を持っていなければなりません。
力学的エネルギー保存の法則・エネルギーの原理を使うときは、系にはたらくすべての力について、仕事をしたか・していないか確認すること。その際今回述べた

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も頭にあると良いでしょう。

内力と仕事・エネルギーの項も参照してください。
今回の教訓

○力学的エネルギー保存の法則・エネルギーの原理を使うときは、系にはたらくすべての力について、仕事をしたか・していないか確認すること。

このテーマおわり

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タイトルは『高校物理発想法~あやふやな理解を明確に~』です。

『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

他の参考書では書いていないような受験生が本当に必要としている事項満載です。

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2物体両方が変位する場合に垂直抗力、張力は仕事をしないか?②

高校物理参考書『高校物理発想法』を出版しました。

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前回の「垂直抗力がした仕事はどうなった?」に対する答えですが・・・ 実は、斜面が物体におよぼす垂直抗力がした仕事と、物体が斜面におよぼす垂直抗力がした仕事が相殺するのです。だから物体系全体では、仕事をする力はmgだけなのです。よって力学的エネルギー保存則

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が成り立つのです。
証明しましょう。 物体、斜面がそれぞれベクトルx、ベクトルX変位したとしましょう。斜面が物体におよぼす垂直抗力をベクトルNとすると、当然物体が斜面におよぼす垂直抗力は -ベクトルNです。ベクトルNと -ベクトルNがする仕事を足した値Wは

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ここで(ベクトルx-ベクトルX)は斜面から見た物体の相対変位です。物体の斜面に対する相対運動は斜面に沿っていますからその向きは垂直抗力の向きと垂直です。よって

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となります。 いまのはベクトルを使ったトリックのようですので、別の求め方も示しておきます。

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図のようになって、垂直抗力の水平成分は左にNsinθで物体は左にx変位しますので、仕事はNsinθ・x。垂直抗力の鉛直成分は上向きにNcosθで物体は下にy変位しますので、仕事は-Ncosθ・y。一方、斜面にはたらく垂直抗力の水平成分は右にNsinθで変位は右にX。よって仕事はNsinθ・X。

(垂直抗力のペアが物体系にした仕事)

=Nsinθ・x+(-Ncosθ)・y+Nsinθ・X

ここで、図からy=(x+X)tanθ

=Nsinθ・x-Ncosθ・(x+X)tanθ+Nsinθ・X

=Nsinθ・x-Nsinθ・(x+X)+Nsinθ・X

=0

このように、やはり垂直抗力のペアがする仕事は相殺して0です。

このテーマつづく

『高校化学 中和滴定』『高校化学 気体の製法の理論を整理すると』『高校化学 熱化学方程式の問題の解き方』を出版しました。kindle出版です。

未知の酸または塩基の濃度を決定する操作を「中和滴定」といいます。中和滴定について高校化学で必要な知識をまとめます。教科書ではあまり取り上げられていないちょっとしたコツも紹介したいと思います。詳しくはこちらを。

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高校化学の熱化学方程式の問題は、場当たり的に解くのではなく、整理して系統的に解くべきです。それをまとめました。

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『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

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2物体両方が変位する場合に垂直抗力、張力は仕事をしないか?①

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斜面と単振り子

上図左のように固定された斜面上ですべる物体に対して、垂直抗力は仕事をしません。なぜなら力の向きと運動方向が垂直だから、垂直抗力と変位ベクトルの内積は0です。同様に図右で天井が固定されていれば、おもりは円運動となり、張力の向きと運動方向は常に垂直で、張力は仕事をしません。
※注 教科書見ると、仕事が物体にくわえた力ベクトルと物体の変位ベクトルの内積であるということ

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を教えないようですが、断然ベクトルを使って理解したほうが良いでしょう。
しかし、もし斜面が固定されていない場合、天井が車の天井の場合、垂直抗力、張力は仕事をしないのでしょうか? 以前から気になっていたのですが、どの問題集を見ても、無前提に力学的エネルギー保存則を使っています。それで本当に良いのでしょうか?
まず固定されていない斜面のほうから。 先の図で斜面は摩擦のない床の上に置かれているとします。斜面と物体間にも摩擦はありません。物体、斜面の質量はm,M、物体の水平方向、鉛直方向の加速度ax,ay、斜面の加速度A、斜面の傾きθ。 斜面から見た物体の相対運動は斜面に沿って動いていて、斜面は止まっているのですから、相対加速度は斜面の傾きと同じ傾きです。ということは静止系から見た物体の加速度の傾きは斜面の傾きと異なります。

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一方、垂直抗力は常に斜面に垂直です。そこでなにが言えるかというと、物体の運動方向と垂直抗力の向きは垂直でない、つまり垂直抗力は仕事をしているということです。 ところが、この手の問題のどの模範解を見ても、物体が鉛直方向hに滑り落ちたとき、物体、斜面の速度をv、Vとして、力学的エネルギー保存則

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が成り立つと書かれています。この式には垂直抗力がした仕事は含まれていません。 しかし、たしかに垂直抗力は仕事をしています。この整合性はどうなっているのでしょう。
このテーマつづく

『高校化学 中和滴定』『高校化学 気体の製法の理論を整理すると』『高校化学 熱化学方程式の問題の解き方』を出版しました。kindle出版です。

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『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

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運動量保存 -衝突する物体の上に他の物体がのっていたら-

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今回は運動量保存則がテーマです。
運動量保存則は二物体(多物体でもよい)が内力だけをおよぼしあって運動するときになりたち、
mv+MV=mv’+MV’
とあらわせます。 なお、内力とは二物体が互いにおよぼしあう作用・反作用のことです。 また運動量はベクトル量なのである一方向だけに着目しても成り立つ、つまり、外力がすべて一方向ならそれに垂直な方向に関する運動量は保存されます。 あと衝突においては内力が非常に短時間にきわめて大きくはたらく(このような力を撃力という)ので、重力などの外力がはたらいていてもそれらは無視でき、衝突の前後で運動量は保存されます。
以上のようなことは受験生なら当然押さえていなくてはならないのですが、なかなか本質的な理解は難しいです。
そこで、次のような例を挙げてみます。

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図のように、物体Cを載せた台車Aが速さVで車Bに衝突します。向きは左向きを正とし、質量をそれぞれMa,Mb,Mc、衝突直後の速さをそれぞれVa,Vb,Vcとします。このとき衝突の前後で運動量保存はどのように表せるでしょうか。 多くの人が次のようにしてしまいます。
MaV+McV=MaVa+MbVb+McVc
AとCは一体で、それがBと衝突したのだ、と言いたいのでしょうが・・・これは間違いです。 丁寧にはたらく力を考えてみましょう。 まず衝突するのはAとBです。両者には撃力がはたらきます。そしてAC間には摩擦力がはたらきます。撃力は先ほど解説しましたように、短時間に極めて大きくはたらきますので摩擦力は無視できます。よって運動量保存則を立てると
MaV=MaVa+MbVb
また
Vc=V
となります。
まちがいは、あくまで衝突したのAとBなのに、それにCまで含めてしまったことから生じています。 AとCが固定されていれば、AC間にも大きな力がはたらき、運動量保存は先ほど間違いといった式であっています。
運動量保存に限らず、力学ではなにとなにに注目するのかが重要になります。よく物理初心者が、物体に力がはたらいているのなら、となりの物体にもその力がはたらいているはずだ、としてしまいがちですが、やはり注目する物体をまちがえています。いま自分はなにに注目しているのかよく考えて問題を解きましょう。
今回扱った運動量保存が次のテキストでとりあげられています。

『入試物理プラス』は「力学10」で大阪大学の問題を掲載しています。この問題集はこのようなポイントポイントを押さえている感じです。それゆえ網羅的ではないので他の問題集と併用すべきでしょう。
『物理攻略のヒント』は「#20 瞬間的な衝突と運動量保存」で今回のテーマをとりあげています。このテキストは少し変わっていて、参考書でも問題集でもなく、読み物の体裁をとっています。受験生がひっかかりそうなテーマを「質問」「間違い例」として、それを読み物的に解説していく形です。高校物理の範囲をあらかた終えてしまった人が受験前に穴がないか確認するのに使えばよいでしょう。うっかり勘違いに気づかされるでしょう。
今回の教訓
○衝突における運動量保存 撃力以外の力は無視できる。
○いま自分がどの物体に注目しているのか気をつけよ!

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『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

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『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

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