運動量保存 -衝突する物体の上に他の物体がのっていたら-

高校物理参考書『高校物理発想法』を出版しました。

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今回は運動量保存則がテーマです。
運動量保存則は二物体(多物体でもよい)が内力だけをおよぼしあって運動するときになりたち、
mv+MV=mv’+MV’
とあらわせます。 なお、内力とは二物体が互いにおよぼしあう作用・反作用のことです。 また運動量はベクトル量なのである一方向だけに着目しても成り立つ、つまり、外力がすべて一方向ならそれに垂直な方向に関する運動量は保存されます。 あと衝突においては内力が非常に短時間にきわめて大きくはたらく(このような力を撃力という)ので、重力などの外力がはたらいていてもそれらは無視でき、衝突の前後で運動量は保存されます。
以上のようなことは受験生なら当然押さえていなくてはならないのですが、なかなか本質的な理解は難しいです。
そこで、次のような例を挙げてみます。

図のように、物体Cを載せた台車Aが速さVで静止した車Bに衝突します。向きは左向きを正とし、質量をそれぞれMa,Mb,Mc、衝突直後の速さをそれぞれVa,Vb,Vcとします。このとき衝突の前後で運動量保存はどのように表せるでしょうか。 多くの人が次のようにしてしまいます。

MaV+McV=MaVa+MbVb+McVc

AとCは一体で、それがBと衝突したのだ、と言いたいのでしょうが・・・これは間違いです。 丁寧にはたらく力を考えてみましょう。 まず衝突するのはAとBです。両者には撃力がはたらきます。そしてAC間には摩擦力がはたらきます。撃力は先ほど解説しましたように、短時間に極めて大きくはたらきますので摩擦力は無視できます。よって運動量保存則を立てると

MaV=MaVa+MbVb

もう少し詳しく説明します。

AB間の激力の大きさをF、AC間の摩擦力の大きさをf、激力が働く時間をΔtとして、各物体の力積の原理の式を立てると

A:MaVa-MaV=-FΔt-fΔt

B:MbVb=FΔt

C:McVc-McV=fΔt

fはFに対して無視できるくらい小さいので、Aの式とBの式の辺々を加えると

MaV=MaVa+MbVb

と先の式がでてきます。AC間に激力が働いていないことがポイントです。
もし CがAの左端にあれば、AC間にも激力がはたらき、運動量保存は先ほど間違いといった式であっています。その場合、AB間の激力の大きさをFab、AC間の激力の大きさをFacとして、力積の原理の式は

A:MaVa-MaV=-FabΔt+FacΔt

B:MbVb=FabΔt

C:McVc-McV=FacΔt

となって、3式の辺々を加えると

MaV+McV=MaVa+MbVb+McVc

衝突において運動量が保存するというのは、激力が極めて大きく、極めて短い時間にはたらく、ということに基づいています。今回の問題は、激力がどこにはたらいているのか、に注意してください。

今回扱った運動量保存が次のテキストでとりあげられています。

『入試物理プラス―大学への数学』

 

『鉄緑会物理攻略のヒント よくある質問と間違い例』

『入試物理プラス』は「力学10」で大阪大学の問題を掲載しています。この問題集はこのようなポイントポイントを押さえている感じです。それゆえ網羅的ではないので他の問題集と併用すべきでしょう。
『物理攻略のヒント』は「#20 瞬間的な衝突と運動量保存」で今回のテーマをとりあげています。このテキストは少し変わっていて、参考書でも問題集でもなく、読み物の体裁をとっています。受験生がひっかかりそうなテーマを「質問」「間違い例」として、それを読み物的に解説していく形です。高校物理の範囲をあらかた終えてしまった人が受験前に穴がないか確認するのに使えばよいでしょう。うっかり勘違いに気づかされるでしょう。
今回の教訓
○衝突における運動量保存 撃力以外の力は無視できる。

 

わたくし、大阪の家庭教師が高校物理の参考書を出版しました。

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タイトルは『高校物理発想法~あやふやな理解を明確に~』です。

『§3 v-t図の考え方』より

「物体の運動を考察する際、v-t図を使うと分かりやすい場合があります。v-t図の用い方は知っている人も多いかと思いますが、ひとつ喚起しておきたいことがあります。v-t図を作図せよ」、という設問があったら、それは、「これ以降の設問でv-t図を利用して解けば簡単に解けますよ」という誘導である場合が多い、ということです。物理の入試問題では、いかに出題者の誘導に乗るか、ということもポイントになってきますので、こういうこともしっかり押さえておきましょう。」

このように受験生が本当に必要としている実践的な知識を載せました。

『§4 「エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」の式をたてる際に注意すること』より

「運動量保存の法則は、「内力だけが働く系では、運動量の和が保存する」というものです。ここで運動量はベクトルですから分解することができます。すると、外力が働いていてもそれが一方向を向いていれば、それに垂直な方向は内力だけが働くことになりますから、その方向の運動量は保存します。したがって運動量保存を使うときは、まず働く力全てを内力と外力に区別し、外力が一方向を向いていないか調べることからはじめます。

教科書に載っている法則をただ覚えているだけではダメです。問題を解くとき具体的にどう使うのかまで理解していなくてはいけません。法則の正しい用い方を明確に説明しました。

他の参考書では書いていないような受験生が本当に必要としている事項満載です。

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